Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.
Возникновение понятия о дифференциале
Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.
Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.
В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y"(x) Δх + αΔх, где α Δх - остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.
Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы - это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).
В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y"(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y"(x) = dy/dx.
Современное определение
Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y 1 , а затем y = y 2 , то разность y 2 ─ y 1 называется приращением величины y.
Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y 2 ─ y 1 .
Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемымdy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы - это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.
Механическое истолкование
Пусть s = f (t) - расстояние прямолинейно движущейся от начального положения (t - время пребывания в пути). Приращение Δs - это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f" (t) Δt - это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f"(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.
Геометрическая интерпретация
Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM" (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM". Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f "(x), т. е QN есть дифференциал dy.
Вторая часть NM"дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM" уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f "(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM"и QN эквивалентны; иными словами NM" уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM". Это видно на рисунке (с приближением M"к М отрезок NM"составляет все меньший процент отрезка QM").
Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.
Производная и дифференциал
Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f "(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f "(x)Δх, или же df (x) = f "(x)Δх.
Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f "(x) dx = dy.
Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.
Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал
Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f "(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f "(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.
Что же касается формулы f "(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.
Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x 2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t 2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x 2 = t 4 .
Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x 2 = t 4 . Он оказывается равен dy=4t 3 Δt.
Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x 2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t 2 получим dx = 2tΔt.
Значит 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.
Замена приращений дифференциалами
Если f "(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f "(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.
Например, если y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх 2 →0, при х=0 величины Δу = Δх 2 и dy=0 не эквивалентны.
Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.
Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х 2 , так что dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см 3 . Полное вычисление дало бы ΔV =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см 3 .
Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.
Дифференциал функции: примеры
Попробуем найти дифференциал функции y = x 3 , не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.
Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).
Здесь коэффициент A= 3x 2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x 2 Δх есть дифференциал y = x 3:
dy=3x 2 Δх=3x 2 dx или же d(x 3) = 3x 2 dx.
При этом d(x 3) / dx = 3x 2 .
Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х 2 . Поэтому dy = ─ Δх/х 2 .
Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.
Приближенные вычисления с применением дифференциала
Вычислить функцию f (x), а также ее производную f "(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение
f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).
Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f "(a)Δх.
Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.
Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)
f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),
где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.
Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала
В принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной или, короче, предельной погрешностью - положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.
Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │Δу│функции y, используют формулу
│Δу│≈│dy│=│ f "(x)││Δх│,
где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ"(х) ∆х.
Основные дифференциалы:
Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.
- Дифференциал постоянной
равен нулю:
dc = 0, с = const. - Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны
d(u+c) = du (c= const).
- Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:
d(uv) = udv + vdu.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
d(cu) = cdu (с = const).
- Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой
- Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f" . Таким образом,
f" (x ) = (f" (x ))" .
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f , то ее n -й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f (n) . Итак,
f (n) (x ) = (f (n-1) (x ))" , n ϵ N , f (0) (x ) = f (x ).
Число n называется порядком производной .
Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
d n f (x ) = d (d n -1 f (x )), d 0 f (x ) = f (x ), n ϵ N .
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d 2 x = d 3 x = ... = d n x = 0.
В этом случае справедлива формула
d n f (x ) = f (n ) (x )(dx ) n .
Производные n -го порядка от основных элементарных функций
Справедливы формулы
Применение производных к исследованию функций.
Основные теоремы дифференцирования функций:
Теорема Ролля
Пусть функция f : [a , b ] → R непрерывна на сегменте [a , b ], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f (a ) = f (b ). Тогда внутри сегмента [a , b ] найдется точка ξ такая, что f" (ξ ) = 0.
Теорема Лагранжа
Если функция f : [a , b ] → R непрерывна на сегменте [a , b ] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f (b ) - f (a ) = f" (ξ )(b - a ).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g непрерывна на [a , b ] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a , b [ и если, кроме того, производная g" (x ) ≠ 0 на ]a , b [, то такое, что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g (a ) ≠ g (b ), то условие g" (x ) ≠ 0 можно заменить менее жестким:
1. d c = 0;
2. d(c u (x )) = c d u (x );
3. d(u (x ) ± v (x )) = d u(x ) ± d v (x );
4. d(u (x ) v (x )) = v (x ) d u (x ) + u (x )d v(x );
5. d(u (x ) / v (x )) = (v (x ) d u (x ) - u (x ) d v (x )) / v 2 (x ).
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = φ(x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(φ(x)). Если каждая из функций f и φ являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме, равна y" = f"(u)· u". Тогда дифференциал функции
dy = f" (x )dx = f" (u )u"dx = f" (u )du,
так как u"dx = du. То есть
| dy = f" (u )du. | (6) |
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.
Замечание. Отметим, что в формуле (5) dx = ∆ x, а в формуле (6) du является лишь линейной частью приращения функции u .
Рассмотрим выражение для первого дифференциала
dy = f" (x )dx.
Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.
Дифференциал второго порядка
Определение 1(дифференциал второго порядка). Значение δ(dy ) дифференциала от первого дифференциала (5) при δ x = dx , называется вторым дифференциалом функции y = f (x ) и обозначается d 2 y .
Таким образом,
d 2 y = δ (dy )| δ x = dx .
Дифференциал d n y можно ввести по индукции.
Определение 7. Значение δ(d n-1 y ) дифференциала от(n- 1)-го дифференциала при δ x = dx , называется n- м дифференциалом функции y = f (x ) и обозначается d n y .
Найдем выражение для d 2 y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x = φ(t ), то есть является функцией переменной t .
1. пусть x = φ(t ), тогда
d 2 = δ (dy )| δx = dx = δ(f" (x )dx )| δx = dx =
= {δ(f" (x ))dx+f" (x )δ(dx )}| δx = dx = f"" (x )(dx ) 2 +f" (x )d 2 x.
| d 2 y = f"" (x )(dx ) 2 +f" (x )d 2 x. | (7) |
2. пусть x - независимая переменная, тогда
d 2 y = f"" (x )(dx ) 2 ,
так как в этом случае δ(dx) = (dx)"δ x = 0.
Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная:
d n y = f (n ) (x )(dx ) n .
Из этой формулы следует, что f (n) = d n y/(dx) n .
В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).
Интегральное исчисление функции одной переменной
Неопределенный интеграл .
Функция называется первообразной по отношению к функции , если дифференцируема и выполняется условие
Очевидно, что где С-любая константа.
Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается и равен